Как раз таки обязан (ст. 91 ТК РФ).Работодатель НЕ обязан вести учет времени, фактически отработанного каждым работником?
Но не надо путать два понятия „рабочее время“ и „фактически отработанное“.
В рабочее время работник должен (обязан) исполнять трудовые обязанности, но из-за больничного может не поработать в это время, то есть пропустить рабочее время. Как итог рабочее время не будет фактически отработано.
В выходной день (нерабочее время) работник НЕ обязан, но привлекается к работе и естественно вполняет свои трудовые функции. В этот выходной будет фактически отработанное вемя.