Svetlana L, совершенно верно. Договор заключается не с фамилией, а с человеком. Ваше предложение перезаключать договор означает, что Вы тем самым признаете за сторонами право это изменение не подписать. По Вашей логике получается, что изменение фамилии - причина расторжения трудового договора.
И Вы знаете, я много раз имел дело с трудинспекцией, но с подобной идейкой (о необходимости изменения трудового договора) не сталкивался ни разу.